Alfred Tarski (1901 - 1983)

Do początków XX wieku klasyczne pojęcie prawdy, mające swoje źródło w pismach Arystotelesa, rozumiane było raczej intuicyjnie, jako zgodność (korespondencja) sądów z faktami: „Mówić, że to, co jest, nie jest, a to, co nie jest, jest, to fałsz, a mówić, że to, co jest, jest, a to, co nie jest, nie jest, to prawda” (Łukasiewicz 1910). Arystotelesowska definicja prawdy od wieków nastręczała filozofom trudności interpretacyjnych, a najpoważniejszą jej słabością jest to, że stosowana bez żadnych ograniczeń do języka naturalnego generuje paradoksy, np. znany paradoks kłamcy. Tarski jako pierwszy pokazał – w sposób niezwykle elegancki i matematycznie precyzyjny – jak można sformułować zgodną z koncepcją Arystotelesa, merytorycznie trafną i formalnie poprawną definicję prawdy. Tarskiego koncepcja semantycznej teorii prawdy została po raz pierwszy przedstawiona w 1933 roku w jego artykule ,,Pojęcie prawdy w językach nauk dedukcyjnych’’, napisanym w języku polskim, a później przetłumaczonym na wiele języków.

Celem Tarskiego było skonstruowanie takiej definicji prawdy dla zdań dowolnego języka sformalizowanego (czyli języka mającego ściśle określoną formalną strukturę i słownik), która byłaby zgodna z tzw. Konwencją T („Zdanie „A” jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy A”) i wolna od paradoksów klasycznej definicji prawdy. U podstaw Tarskiego definicji prawdy leży kilka fundamentalnych założeń. Po pierwsze, według Tarskiego pojęcie prawdziwości zawsze odnosi się do wyrażeń określonego języka, to znaczy ma relatywny charakter: pojęcie prawdziwości nie może więc należeć do języka, do którego się stosuje. Języki naturalne (np. polski czy angielski) nie spełniają tego warunku. Z tego powodu Tarski uważał, iż nie jest możliwe podanie definicji prawdy dla wszystkich zdań języka naturalnego, gdyż każda taka próba musi prowadzić do paradoksów. Punktem wyjścia w konstrukcji Tarskiego było więc rygorystyczne oddzielenie języka, którego zdania badamy – nazywanego językiem przedmiotowym – od metajęzyka, to znaczy języka, w którym badany język opisujemy i analizujemy. Po drugie, prawdziwość – rozumiana jako odpowiedniość pomiędzy zdaniami a rzeczywistością pozajęzykową – musi być również zrelatywizowana do interpretacji, to znaczy struktury (modelu) złożonej z dziedziny obiektów opisywanych przez język i wyróżnionych relacji, własności, itp. Główna idea definicji Tarskiego polega na redukcji prawdziwości zdań złożonych do prawdziwości zdań prostszych, z których zdania złożone się składają. Tego rodzaju redukcję kontynuuje się aż do napotkania najprostszych nieredukowalnych zdań (formuł), których prawdziwość (spełnianie) zależy od ich interpretacji w dziedzinie (modelu), którą język przedmiotowy ma opisywać.

Kluczowym pojęciem w Tarskiego definicji prawdy (semantyki) jest relacja spełniania, która zachodzi pomiędzy formułami języka przedmiotowego a modelami (interpretacjami języka przedmiotowego) i wartościowaniami (ciągami obiektów z dziedziny interpretacji). Relacja spełniania zdefiniowana jest przez indukcję, a więc warunki definiujące relację spełniania sformułowane są najpierw dla formuł najprostszych po coraz bardziej złożone. Rozważmy prosty przykład. Załóżmy, że nasz język przedmiotowy zawiera formułę postaci xRy, gdzie litery x oraz y reprezentują obiekty z dziedziny modelu, zaś R relację zachodzącą pomiędzy tymi obiektami. Niech M będzie modelem, którego dziedziną jest zbiór ludzi, zaś interpretacją R w tym modelu jest relacja ,,jest wyższy od’’. Każde wartościowanie a przyporządkowuje literom x oraz y konkretne elementy z dziedziny modelu M, a zatem w naszym przykładzie a(x) oraz a(y) należą do zbioru ludzi. Definicja relacji spełniania dla rozważanego języka przedmiotowego zawierać będzie w szczególności następujący warunek indukcyjny definiujący spełnianie formuł postaci xRy:

Formuła xRy jest spełniona w M przy wartościowaniu a wtedy i tylko wtedy, gdy a(x) jest wyższy od a(y).

Formuła xRy będzie więc spełniona w M przez wszystkie i tylko takie wartościowania, które przyporządkowują literze x osobę z dziedziny modelu M, która jest wyższa od osoby przyporządkowanej przez wartościowanie a literze y. Indukcyjne warunki spełniania definiuje się dla wszystkich postaci formuł języka przedmiotowego. Pojęcie prawdziwości zdań języka przedmiotowego definiowane jest wówczas następująco:

Zdanie S jest prawdziwe w modelu M wtedy i tylko wtedy, gdy każde wartościowanie w M spełnia S.

Tarskiego definicja prawdy to nie tylko definicja jednego pojęcia, ale cała teoria prawdy – teoria, która rozsławiła Tarskiego jako „człowieka, który zdefiniował prawdę”, czego anegdotycznym świadectwem jest list w Archiwum Tarskiego w Berkeley o takiej oto treści: „Szanowny Profesorze Tarski, Pan zdefiniował prawdę. Zastanawiam się, jak Pan do tego doszedł. Założyłam się z koleżanką z klasy, że Pan mi odpisze. Z poważaniem, Patti Rossi”. Na górze Tarski napisał ołówkiem: „Patti przegrała zakład”. Definicja prawdy Tarskiego jest dziś fundamentem, na którym opiera się współczesna teoria modeli i semantyka logiczna. Z tego powodu Tarski uważany jest za ojca teorii modeli.

Jako uzupełnienie swojej definicji prawdy, Tarski wykazał, że języki formalne nie mogą definiować swojej własnej prawdziwości. Wynik ten znany jest jako twierdzenie Tarskiego o niedefiniowalności prawdy i w bardziej formalnym ujęciu głosi:

Jeśli niesprzeczny system formalny L zawiera język i aksjomaty arytmetyki liczb naturalnych, to pojęcie prawdziwości dla L nie może być zdefiniowane w samym L.

Twierdzenie o niedefiniowalności prawdy uznawane jest za jedno z najważniejszych twierdzeń metalogicznych, wskazujących istotne ograniczenia systemów formalnych: jeśli chcemy zdefiniować pojęcie prawdziwości dla danego języka musimy sięgnąć po środki z języka znacznie bogatszego.

W 1924 roku Tarski wspólnie ze Stefanem Banachem opublikowali w Fundamenta Mathematicae jedno z najbardziej zadziwiających twierdzeń matematycznych, z którego wynika, iż dowolnej wielkości kulę (obiekt matematyczny) można podzielić na skończoną liczbę części, z których można następnie złożyć kulę dowolnej innej wielkości. Wynik ten przeczył zwykłej intuicji, dlatego twierdzenie to nazywa się często paradoksem Banacha-Tarskiego. Jednak w przeciwieństwie do innych znanych paradoksów, które rzeczywiście prowadzą do sprzeczności, twierdzenie Banacha-Tarskiego było niesprzeczne z powszechnie akceptowanymi aksjomatami teorii mnogości. Dowód twierdzenia o paradoksalnym rozkładzie kuli w sposób istotny wykorzystywał aksjomat wyboru, postulujący istnienie pewnego zbioru bez podania metody jego konstrukcji. Wynik Banacha-Tarskiego wskazywał więc zaskakujące konsekwencje przyjęcia w podstawach teorii mnogości aksjomatu wyboru, który powszechnie stosowany w dowodach matematycznych uznawany był wcześniej za dość intuicyjny. Twierdzenie Banacha-Tarskiego miało duże znaczenie dla rozwoju badań nad podstawami teorii mnogości, a w szczególności zainicjowało poszukiwanie konstruktywnych metod dowodzenia bez użycia aksjomatu wyboru. W późniejszym okresie Tarski sformułował około 30 równoważnych aksjomatowi wyboru sformułowań, głównie w terminach operacji i relacji na liczbach kardynalnych.

Tarski uzyskał wiele fundamentalnych wyników w podstawach takich teorii matematycznych jak algebra, geometria i topologia. W szczególności, wykorzystując metodę eliminacji kwantyfikatorów, wykazał zupełność i rozstrzygalność elementarnej algebry liczb rzeczywistych i elementarnej geometrii euklidesowej, to znaczy wskazał algorytm sprawdzania w skończenie wielu krokach, czy dane zdanie sformułowane w języku tych teorii jest prawdziwe. Tarski wprowadził do literatury logicznej pojęcie teorii istotnie nierozstrzygalnej jako teorii, której wszystkie niesprzeczne rozszerzenia są również nierozstrzygalne, a następnie udowodnił szereg metalogicznych twierdzeń ustalających warunki wystarczające, by teoria była nierozstrzygalna. Dzięki tym wynikom udowodniono wiele ciekawych twierdzeń dotyczących (nie)rozstrzygalności rozmaitych teorii matematycznych.

W latach czterdziestych wraz ze współpracownikami Tarski uzyskał wiele ważnych wyników dotyczących algebr liczb kardynalnych, algebr liczb porządkowych i algebr topologicznych. Wykorzystując abstrakcyjno-algebraiczne podeście, Tarski wykazał między innymi, że wiele twierdzeń dotyczących skończonych i nieskończonych sum liczb kardynalnych można udowodnić bez użycia aksjomatu wyboru.

Na początku lat czterdziestych Tarski rozpoczął i kontynuował do końca życia badania nad algebrami relacyjnymi. Niektórzy uważają, że wyniki Tarskiego w zakresie algebr relacyjnych są równie przełomowe jak jego definicja prawdy. W 1941 roku Tarski zaproponował elegancką i stosunkowo prostą formalizację rachunku relacji dwuargumentowych w postaci abstrakcyjnych algebr relacyjnych i postawił pytanie, czy każda równość prawdziwa przy dowolnej interpretacji we wszystkich algebrach relacji dwuargumentowych określonych w niepustych dziedzinach jest wywodliwa z aksjomatów tego systemu. Inaczej mówiąc, Tarski postawił problem, czy – analogicznie jak w przypadku algebr Boole’a – prawdziwe jest dla algebr relacyjnych twierdzenie o reprezentacji, zgodnie z którym każda algebra relacyjna ma reprezentację w postaci algebry relacji dwuargumentowych. Nieoczekiwanie, okazało się, że rozwiązanie problemu jest negatywne: istnieją równości prawdziwe we wszystkich algebrach relacji dwuargumentowych, które nie są dowodliwe w oparciu o aksjomaty Tarskiego. Pomimo negatywnego wyniku, okazało się, że pojęcie algebr relacyjnych ma ogromny potencjał, gdyż wiele teorii z rozmaitych dziedzin (np. z podstaw informatyki i logiki) można interpretować jako teorie pewnych algebr relacyjnych. Doniosłość wyników Tarskiego w zakresie algebr relacyjnych uświadomiono sobie znacznie później, kiedy algebry te zaczęto stosować w badaniach nad relacyjnymi bazami danych i metodami efektywnego zarządzania dużymi bazami danych.

Biografia

Alfred Tarski urodził się 14 stycznia 1901 roku w Warszawie. Był pierwszym z dwóch synów Róży (Racheli) z domu Prussak i Ignacego (Isaaka) Teitelbaumów. W 1910 roku rozpoczyna naukę w IV Rządowym Gimnazjum w Warszawie, a w 1915 roku wstępuje do VI klasy ośmioklasowej Szkoły Ziemi Mazowieckiej, gdzie uczy się do 1918 roku, uzyskując świadectwo dojrzałości. W październiku 1918 roku rozpoczyna studia biologiczne na Uniwersytecie Warszawskim, a w następnym roku porzuca biologię i przenosi się na matematykę. Studia w latach 1919-1924 poświęca Tarski prawie wyłącznie matematyce i logice. Uczestniczy w zajęciach prowadzonych przez największych polskich matematyków, logików i filozofów: Zygmunta Janiszewskiego, Tadeusza Kotarbińskiego, Kazimierza Kuratowskiego, Stanisława Leśniewskiego, Jana Łukasiewicza, Stefana Mazurkiewicza, Władysława Sierpińskiego. W 1920 roku zmienia pisownię swoje nazwiska z „Teitelbaum” na „Tajtelbaum”. W 1921 roku w Przeglądzie Filozoficznym ukazuje się pierwszy artykuł Tarskiego pt. „Przyczynek do aksjomatyki zbioru dobrze uporządkowanego”, w którym przedstawił rozwiązanie problemu z teorii mnogości postawionego przez Stanisława Leśniewskiego. W 1922 roku rozpoczyna pracę w Gimnazjum Żeńskim Zofii Kaleckiej, gdzie uczy matematyki. W tym samym roku przyjmuje chrzest i składa podanie o zmianę nazwiska na „Tarski”. W 1924 roku uzyskuje stopień doktora na podstawie rozprawy doktorskiej pt. „O wyrazie pierwotnym sylogistyki”. Promotorem Tarskiego jest Leśniewski, zaś recenzentami pracy Łukasiewicz i Sierpiński. W kwietniu 1924 roku otrzymuje oficjalną zgodę na zmianę nazwiska. W 1925 roku rozpoczyna pracę nauczyciela matematyki w Gimnazjum im. Stefana Żeromskiego i zostaje docentem Uniwersytetu Warszawskiego. W okresie tym poznaje matematyków ze szkoły lwowskiej i nawiązuje współpracę ze Stefanem Banachem i Adolfem Lindenbaumem.

W czerwcu 1929 roku poślubia Marię z domu Witkowską. W tym samym roku stara się o objęcie katedry logiki matematycznej we Lwowie. Zatrudnienie Tarskiego popierają filozofowie Kazimierz Twardowski, Kazimierz Ajdukiewicz, Jan Łukasiewicz oraz Stanisław Leśniewski. Ostatecznie, katedrę obejmuje Leon Chwistek, filozof i logik, popierany przez Hugo Steinhausa, Stefana Banacha i Bertranda Russella. W 1930 roku na zaproszenie Hansa Hahna przebywa przez tydzień na Uniwersytecie Wiedeńskim, gdzie poznaje Rudolfa Carnapa i Kurta Gödla. Wygłasza serię wykładów na seminarium sławnego Koła Wiedeńskiego. W 1930 roku Mojżesz Presburger otrzymuje magisterium za pracę napisaną pod kierunkiem Tarskiego, w której przedstawiony został dowód zupełności teorii liczb naturalnych z samym tylko dodawaniem, uzyskany metodą eliminacji kwantyfikatorów. Dziś twierdzenie Presburgera uznawane jest za jeden z ważniejszych wyników polskiej szkoły matematycznej, który wart był doktoratu, ale w 1930 roku Tarski był odmiennego zdania. W 1934 roku rodzi się syn Tarskiego – Janusz Andrzej. W 1935 roku Tarski uzyskuje urlop bezpłatny i dzięki stypendium Fundacji Rockefellera wyjeżdża na kilka miesięcy do Wiednia, następnie do Paryża, gdzie spotyka się Kurtem Gödlem i Karlem Popperem. W 1937 roku stara się o objęcie katedry profesorskiej, tym razem na Uniwersytecie Poznańskim, i ponownie bezskutecznie: konkurs nie zostaje rozstrzygnięty, a katedrę zlikwidowano. Na początku lat trzydziestych na wykłady Tarskiego zaczyna chodzić Andrzej Mostowski, przyszły pierwszy doktorant Tarskiego, który stopień doktora uzyskuje w 1938 roku na podstawie pracy napisanej pod kierunkiem Tarskiego, poświęconej analizie pojęcia skończoności i niezależności różnych definicji tego pojęcia. W 1937 roku studia u Tarskiego zaczyna Wanda Szmielew, która doktorat pod kierunkiem Tarskiego obroni już po wojnie. W marcu 1938 roku rodzi się córka Tarskiego – Ina Krystyna. Od uzyskania stopnia doktora do wybuchu wojny Tarski prowadzi intensywne życie naukowe i towarzyskie w Warszawie i za granicą. Do 1939 roku opublikował już 3 książki, 62 artykuły (w tym jedno ze swoich największych dzieł o pojęciu prawdy w językach sformalizowanych) i 16 abstraktów; uczestniczył w wielu konferencjach krajowych i zagranicznych, nawiązał współpracę międzynarodową (Carnap, Gödel, Popper, Quine). Wiosną 1939 roku Tarski otrzymuje od Quine’a zaproszenie do wygłoszenia odczytu na piątym Międzynarodowym Kongresie Jedności Nauki, który miał się odbyć we wrześniu na Uniwersytecie Harvarda. Jednak w maju 1939 roku umiera Leśniewski i Tarski ma nadzieję na objęcie po nim katedry, przez co zwleka z odpowiedzią na zaproszenie Quine’a. Na wyjazd decyduje się w ostatniej chwili. 11 sierpnia 1939 roku z paszportem, amerykańską wizą i jedną walizką z letnimi ubraniami jedzie pociągiem do Gdyni i statkiem M/s Piłsudski odpływa do Ameryki. Do Nowego Jorku przybywa 21 sierpnia 1939 roku. W Warszawie pozostają jego żona i dzieci, a wkrótce wybucha wojna, która zastaje Tarskiego w Stanach Zjednoczonych bez pieniędzy i bez pracy.

We wrześniu 1939 roku Tarski bierze udział w Konferencji Jedności Nauki na Uniwersytecie Harvarda, gdzie wygłasza odczyt. Dzięki pomocy znajomych matematyków otrzymuje gościnną profesurę w City College w Nowym Jorku na semestr wiosenny 1940 roku, a następnie roczny etat naukowy na Uniwersytecie Harvarda w roku akademickim 1940/1941. W tym czasie poznaje J.C.C. McKinseya, z którym opublikuje później ważne prace o algebraicznych aspektach topologii i jej zastosowaniach w semantyce logiki intuicjonistycznej i logik modalnych. W latach 1940-1942 Tarski dużo podróżuje, odwiedza najważniejsze uniwersytety na Wschodnim Wybrzeżu i Środkowym Zachodzie Stanów Zjednoczonych, wygłasza liczne wykłady o swoich ostatnich wynikach dotyczących nierozstrzygalności i algebr relacyjnych. W styczniu 1942 roku wyjeżdża do Princeton, gdzie w ramach stypendium Guggenheima przebywa w Institute for Advanced Study. W okresie tym nawiązuje współpracę z Paulem Erdösem. W lipcu 1942 roku Tarski opuszcza Princeton i wyjeżdża na Uniwersytet Kalifornijski w Berkeley, gdzie obejmuje stanowisko wykładowcy na jeden rok z możliwością przedłużenia umowy co najmniej do końca wojny.

W 1942 roku Tarski obejmuje stanowisko wykładowcy na Uniwersytecie Kalifornijskim, trzy lata później zostaje profesorem nadzwyczajnym, a w 1948 roku profesorem zwyczajnym. W 1945 roku przyjmuje obywatelstwo amerykańskie. W 1946 roku udaje mu się sprowadzić do Berkeley żonę i dzieci. Rodzice i brat Tarskiego nie przeżyli wojny. W Berkeley pozostaje do końca życia. Polskę odwiedza kilkukrotnie (1956, 1959, 1961, 1964, 1966), zawsze z powodów naukowych. Przez cały kalifornijski okres swojego życia Tarski utrzymuje niezwykle intensywne tempo pracy badawczej, aktywnie angażuje się w promowanie logiki i swoich programów badawczych. Na Uniwersytecie w Berkeley stworzył specjalny program studiów doktoranckich w zakresie logiki i podstaw matematyki. W 1958 roku powołał Grupę Logiki i Metodologii Nauk, integrującą logików, matematyków i filozofów. Był autorem koncepcji programowej i organizacyjnej międzynarodowych kongresów z logiki, metodologii i filozofii nauki, które odbywają się cyklicznie do dziś. Zorganizował wiele innych, bardziej specjalistycznych wydarzeń naukowych. Tarski utrzymywał kontakt z wieloma naukowcami z Polski, których aktywnie i z zaangażowaniem sprowadzał do Berkeley na krótkie lub dłuższe pobyty. Wspierał również polskich intelektualistów emigracyjnych, np. Leszka Kołakowskiego i Czesława Miłosza. Śledził uważnie wydarzenia polityczne w Polsce, czytał polskie czasopisma, między innymi paryską Kulturę, której jedno wydanie sfinansował.

Umarł w Berkeley 27 października 1983 roku.